ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ по формуле приведения. Угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус. При малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где косинус положителен, значит, знак не меняется:

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.$$

Косинус двойного угла запишем через синус, потому что в уравнении уже есть $\sin x$:

$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x.$$

Подставим оба выражения в уравнение:

$$1-2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x-1=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sqrt{2}\sin x$ за скобки (учитываем, что $2=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$):

$$\sqrt{2}\sin x\left(\sqrt{2}\sin x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая и левая точки окружности.

Ордината $\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$). Поэтому из второго уравнения $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$, с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\pi k$:

$$\frac{5\pi }{2}⩽\pi k⩽4\pi \iff \frac{5}{2}⩽k⩽4.$$

Подходят $k=3$ и $k=4$, получаем корни $3\pi$ и $4\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$:

$$\frac{5\pi }{2}⩽\frac{\pi }{4}+2\pi k⩽4\pi \iff \frac{9}{4}⩽2k⩽\frac{15}{4}\iff \frac{9}{8}⩽k⩽\frac{15}{8}.$$

Оба конца лежат строго между $1$ и $2$, целых $k$ здесь нет — эта серия на отрезок не попадает.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$:

$$\frac{5\pi }{2}⩽\frac{3\pi }{4}+2\pi k⩽4\pi \iff \frac{7}{4}⩽2k⩽\frac{13}{4}\iff \frac{7}{8}⩽k⩽\frac{13}{8}.$$

Подходит только $k=1$, корень $\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{11\pi }{4}$.

На отрезке лежат $\frac{11\pi }{4}$, $3\pi$, $4\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{4}$; $3\pi$; $4\pi$.