ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ уравнения: аргумент логарифма должен быть положительным,

$$2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x>0.$$

По определению логарифма равенство ${\log }_{4}a=x$ означает $a=4^x$. Поэтому уравнение равносильно уравнению

$$2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x=4^x.$$

Решать неравенство ОДЗ отдельно не нужно. Если это равенство выполнено, то аргумент логарифма равен $4^x$, а показательная функция принимает только положительные значения: $4^x>0$ при любом $x$. Значит, каждый корень нового уравнения автоматически удовлетворяет ОДЗ, и переход равносилен.

По свойству степени $2^{2x}={\left(2^2\right)}^x=4^x$. Вычтем $4^x$ из обеих частей и умножим на $-1$:

$$\sqrt{3}\cos x+\sin 2x=0.$$

Распишем синус двойного угла по формуле $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$$\sqrt{3}\cos x+2\sin x\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — это верхняя и нижняя точки окружности.

Ордината $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому из второго уравнения $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину ровно $2\pi$: оба его конца на окружности — нижняя точка, поэтому отбирать на окружности неудобно. Отберём корни двойными неравенствами. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$-\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff -\frac{1}{2}⩽\frac{1}{2}+k⩽\frac{3}{2}\iff -1⩽k⩽1.$$

Подходят $k=-1,0,1$, получаем корни $-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$:

$$-\frac{\pi }{2}⩽-\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff -\frac{1}{6}⩽2k⩽\frac{11}{6}\iff -\frac{1}{12}⩽k⩽\frac{11}{12}.$$

Единственное целое число на этом промежутке — $k=0$, корень $-\frac{\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-\frac{\pi }{2}⩽-\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff \frac{1}{6}⩽2k⩽\frac{13}{6}\iff \frac{1}{12}⩽k⩽\frac{13}{12}.$$

Подходит только $k=1$, корень $-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}$.

Расположим найденные корни по возрастанию: на отрезке лежат $-\frac{\pi }{2}$, $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{2}$; $-\frac{\pi }{3}$; $\frac{\pi }{2}$; $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{3\pi }{2}$.