ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим $\sin (x+\pi )$ по формуле приведения. Угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому синус остаётся синусом. При малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где синус отрицателен, значит, перед функцией ставим минус:

$$\sin (x+\pi )=-\sin x.$$

Уравнение принимает вид

$$2{\cos }^{2}x-3\sin x-3=0.$$

В нём две разные функции. Чтобы осталась одна, выразим ${\cos }^{2}x$ через синус по основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, то есть ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)-3\sin x-3=0\iff -2{\sin }^{2}x-3\sin x-1=0.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2{\sin }^{2}x+3\sin x+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+3t+1=0.$$

Найдём дискриминант: $D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$. Тогда

$$t=\frac{-3\pm 1}{4},t_1=-\frac{1}{2},t_2=-1.$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$, поэтому оба подходят. Значит, $2t^2+3t+1=(2t+1)(t+1)$, и уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{1}{2},\\ \sin x=-1.\end{array}$$

Ордината $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам единичной окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Поэтому $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ордината $-1$ — только у нижней точки окружности, поэтому $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка, конец $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти.

На дугу попадают точка $-\frac{5\pi }{6}$ из III четверти и нижняя точка — она совпадает с концом дуги. Точка $-\frac{\pi }{6}$ лежит в IV четверти, вне дуги.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}<2\pi$, а следующее значение $\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{19\pi }{6}$: действительно, $\frac{12\pi }{6}<\frac{19\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}$, а соседние значения $\frac{7\pi }{6}<2\pi$ и $\frac{31\pi }{6}>\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{7\pi }{2}$ — правый конец отрезка: соседние значения $\frac{3\pi }{2}<2\pi$ и $\frac{11\pi }{2}>\frac{7\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{2}$.