ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным,

$$\sin x>0.$$

По свойству степени $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ запишем правую часть как степень пятёрки:

$$\frac{5}{5^{{\log }_2(\sin x)}}=5^{1-{\log }_2(\sin x)}.$$

Уравнение примет вид

$$5^{2{\log }_2^2(\sin x)}=5^{1-{\log }_2(\sin x)}.$$

Функция $y=5^u$ возрастает и каждое своё значение принимает ровно при одном $u$, поэтому на ОДЗ можно приравнять показатели:

$$2{\log }_2^2(\sin x)=1-{\log }_2(\sin x).$$

Сделаем замену $t={\log }_2(\sin x)$:

$$2t^2+t-1=0.$$

Найдём дискриминант: $D=1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9=3^2$. Тогда

$$t=\frac{-1\pm 3}{4}\iff [\begin{array}{l}t=\frac{1}{2},\\ t=-1.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. По определению логарифма ${\log }_{2}a=b$ означает $a=2^b$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_2(\sin x)=\frac{1}{2},\\ {\log }_2(\sin x)=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2},\\ \sin x=2^{-1}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Уравнение $\sin x=\sqrt{2}$ решений не имеет: $\sqrt{2}>1$, а синус не бывает больше $1$.

Для второго уравнения $\sin x=\frac{1}{2}>0$, поэтому условие ОДЗ на его корнях выполнено автоматически.

Ордината $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ (II четверть), поэтому $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадает только точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченную точку в число отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $\pi =\frac{6\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{2}=\frac{15\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $\frac{\pi }{6}<\pi$ и $\frac{25\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{6}<\frac{6\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{17\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{13\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{6}$.