ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Разберём каждую степень по свойствам $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$, ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$ и $(ab{)}^n=a^n{b}^n$:

$$6^{2x-1}=\frac{6^{2x}}{6}=\frac{{\left(6^x\right)}^2}{6},25^{x-0,5}=\frac{25^x}{25^{0,5}}=\frac{{\left(5^x\right)}^2}{5},30^{x-1}=\frac{30^x}{30}=\frac{6^x\cdot 5^x}{30}.$$

Здесь $25^{0,5}=\sqrt{25}=5$. Уравнение примет вид

$$\frac{{\left(6^x\right)}^2}{6}+\frac{2{\left(5^x\right)}^2}{5}=\frac{16\cdot 6^x\cdot 5^x}{30}.$$

Умножим обе части на $30$ и перенесём всё в левую часть:

$$5{\left(6^x\right)}^2-16\cdot 6^x\cdot 5^x+12{\left(5^x\right)}^2=0.$$

Это однородное уравнение второй степени относительно $6^x$ и $5^x$: в каждом слагаемом суммарная степень равна двум. Разделим обе части на ${\left(5^x\right)}^2=25^x$. Так как $25^x>0$ при всех $x$, переход равносилен:

$$5{\left(\frac{6^x}{5^x}\right)}^2-16\cdot \frac{6^x}{5^x}+12=0\iff 5{\left({\left(\frac{6}{5}\right)}^x\right)}^2-16{\left(\frac{6}{5}\right)}^x+12=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{6}{5}\right)}^x$, $t>0$:

$$5t^2-16t+12=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-16{)}^2-4\cdot 5\cdot 12=256-240=16=4^2$. Тогда

$$t=\frac{16\pm 4}{10}\iff [\begin{array}{l}t=2,\\ t=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}.\end{array}$$

Оба значения положительны. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{\left(\frac{6}{5}\right)}^x=\frac{6}{5},\\ {\left(\frac{6}{5}\right)}^x=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1,\\ x={\log }_{\frac{6}{5}}2.\end{array}$$

Первое уравнение решаем сравнением показателей (функция $y={\left(\frac{6}{5}\right)}^x$ монотонна), второе — по определению логарифма.

б) Проверим, какие корни лежат на отрезке $[0,5;4]$.

Корень $x=1$ подходит: $0,5⩽1⩽4$.

Для корня ${\log }_{\frac{6}{5}}2$ воспользуемся тем, что функция $y={\log }_{\frac{6}{5}}u$ возрастает (основание $\frac{6}{5}>1$): большему аргументу соответствует большее значение.

Сравним с левым концом. Так как $2>\frac{6}{5}$, получаем

$${\log }_{\frac{6}{5}}2>{\log }_{\frac{6}{5}}\frac{6}{5}=1>0,5.$$

Сравним с правым концом. Запишем $4$ как логарифм: $4={\log }_{\frac{6}{5}}{\left(\frac{6}{5}\right)}^4$, где

$${\left(\frac{6}{5}\right)}^4=\frac{1296}{625},2=\frac{1250}{625}.$$

Так как $\frac{1250}{625}<\frac{1296}{625}$, то есть $2<{\left(\frac{6}{5}\right)}^4$, по возрастанию логарифма

$${\log }_{\frac{6}{5}}2<{\log }_{\frac{6}{5}}{\left(\frac{6}{5}\right)}^4=4.$$

Значит, $0,5<{\log }_{\frac{6}{5}}2<4$, и этот корень тоже принадлежит отрезку.

Ответ: а) $1$; ${\log }_{\frac{6}{5}}2$; б) $1$; ${\log }_{\frac{6}{5}}2$.