ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным,

$$2\cos x>0\iff \cos x>0.$$

Сделаем замену $t={\log }_3(2\cos x)$. Уравнение станет квадратным:

$$2t^2-5t+2=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^2$. Тогда

$$t=\frac{5\pm 3}{4}\iff [\begin{array}{l}t=2,\\ t=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. По определению логарифма ${\log }_{3}a=b$ означает $a=3^b$ (при $a>0$):

$$[\begin{array}{l}{\log }_3(2\cos x)=2,\\ {\log }_3(2\cos x)=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}2\cos x=3^2=9,\\ 2\cos x=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=\frac{9}{2},\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Уравнение $\cos x=\frac{9}{2}$ решений не имеет, так как $\frac{9}{2}>1$, а косинус не бывает больше $1$.

Для второго уравнения $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, поэтому условие ОДЗ на его корнях выполнено автоматически.

Абсцисса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть), поэтому $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают обе точки решения: $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти и $\frac{\pi }{6}$ из I четверти.

Переведём их в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $\pi =\frac{6\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{2}=\frac{15\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{\pi }{6}<\pi$ и $\frac{23\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $\frac{\pi }{6}<\pi$ и $\frac{25\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$.

На отрезке лежат $\frac{11\pi }{6}$, $\frac{13\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{6}$; $\frac{13\pi }{6}$.