ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

В правой части вынесем $\sin x$ за скобку: ${\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x=\sin x\left(\sin x+\sqrt{2}\right)$. Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\cos x\left(\sin x+\sqrt{2}\right)-\sin x{\cos }^{2}x\left(\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Делить обе части на $\cos x$ нельзя — так потеряются корни, при которых $\cos x=0$. Поэтому вынесем общий множитель $\cos x\left(\sin x+\sqrt{2}\right)$:

$$\cos x\left(\sin x+\sqrt{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{4}-\sin x\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\sqrt{2},\\ \sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}.\end{array}$$

Второе уравнение решений не имеет: $-\sqrt{2}<-1$, а синус не бывает меньше $-1$.

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Третье уравнение решим с помощью формулы синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$, то есть $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$:

$$\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{4}\iff \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ордината $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает углам $\frac{\pi }{3}$ и $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$, поэтому

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ 2x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Каждая из этих серий даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$.

б) Отрезок $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $2\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

На дугу попадают верхняя точка (начало дуги), нижняя точка и точки $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{4\pi }{3}$ из III четверти. Точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{\pi }{3}$ лежат в I четверти и на дугу не попадают.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{2}>2\pi$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{7\pi }{6}$: соседние значения $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{13\pi }{6}>\frac{12\pi }{6}=2\pi$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{4\pi }{3}$: соседние значения $\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{3}>\frac{6\pi }{3}=2\pi$.

На отрезке лежат $\frac{\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\frac{\pi }{6}+\pi k$; $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{6}$; $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{3\pi }{2}$.