ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения (период синуса $2\pi$ и его нечётность) $\sin (2\pi -x)=-\sin x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим и перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.$$

Сгруппируем слагаемые с множителем $2\sin x$ и слагаемые с множителем $\sqrt{2}$, учитывая, что $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$:

$$\left(2{\sin }^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cos x\right)-\left(\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x\right)=0,$$

$$2\sin x\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)-\sqrt{2}\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)$:

$$\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x+\sqrt{3}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Первое уравнение — однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, но синус и косинус одновременно в ноль не обращаются: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на корнях этого уравнения $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$ без потери корней:

$$\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0\iff \mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Эта серия даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть).

Ордината $\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть), поэтому из второго уравнения $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти и точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти. Точки $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{3\pi }{4}$ лежат во II четверти и на дугу не попадают.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{4\pi }{3}<-\pi$ и $\frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{7\pi }{4}<-\pi$ и $\frac{9\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{5\pi }{4}<-\pi$, а следующее значение $\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{4}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{3}$; $\frac{\pi }{4}$.