ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим это в уравнение и приведём подобные:

$$6\left(1-{\cos }^{2}x\right)+5\cos x-2=0\iff -6{\cos }^{2}x+5\cos x+4=0\iff 6{\cos }^{2}x-5\cos x-4=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$6t^2-5t-4=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-5{)}^2-4\cdot 6\cdot (-4)=25+96=121=11^2$. Тогда

$$t=\frac{5\pm 11}{12}\iff [\begin{array}{l}t=\frac{16}{12}=\frac{4}{3},\\ t=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Значит, левая часть раскладывается на множители: $6t^2-5t-4=(2t+1)(3t-4)$. Проверка: $(2t+1)(3t-4)=6t^2-8t+3t-4=6t^2-5t-4$.

Значение $\frac{4}{3}>1$ не подходит: косинус не бывает больше $1$. Остаётся

$$\cos x=-\frac{1}{2}.$$

Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть), поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадает только точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти. Точка $\frac{2\pi }{3}$ лежит во II четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченную точку в число отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $3\pi =\frac{18\pi }{6}$, $\frac{9\pi }{2}=\frac{27\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}$: соседние значения $\frac{4\pi }{3}<3\pi$ и $\frac{16\pi }{3}=\frac{32\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{8\pi }{3}=\frac{16\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{14\pi }{3}=\frac{28\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{10\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{10\pi }{3}$.