ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: показательная функция определена при любом показателе.

По свойству степени ${\left(a^m\right)}^n={\left(a^n\right)}^m$ имеем

$$81^{\sin x}={\left(9^2\right)}^{\sin x}={\left(9^{\sin x}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=9^{\sin x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Уравнение примет вид

$$27t^2-12t+1=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-12{)}^2-4\cdot 27\cdot 1=144-108=36=6^2$. Тогда

$$t=\frac{12\pm 6}{54}\iff [\begin{array}{l}t=\frac{18}{54}=\frac{1}{3},\\ t=\frac{6}{54}=\frac{1}{9}.\end{array}$$

Оба значения положительны, условие $t>0$ выполнено.

Сделаем обратную замену. Запишем правые части как степени девятки: $\frac{1}{3}=\frac{1}{\sqrt{9}}=9^{-\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{9}=9^{-1}$.

$$[\begin{array}{l}{9}^{\sin x}=9^{-\frac{1}{2}},\\ 9^{\sin x}=9^{-1}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=-\frac{1}{2},\\ \sin x=-1.\end{array}$$

Переход к показателям равносилен: функция $y=9^u$ возрастает и каждое своё значение принимает ровно при одном $u$.

Из уравнения $\sin x=-1$ получаем $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — нижняя точка окружности.

Ордината $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Поэтому $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

На дугу попадают нижняя точка (начало дуги) и точка $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти. Точка $-\frac{5\pi }{6}$ лежит в III четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}$, $3\pi =\frac{18\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{3\pi }{2}$ (начало отрезка): соседние значения $-\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}>3\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{23\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{19\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$.

На отрезке лежат $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{6}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{11\pi }{6}$.