ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Воспользуемся формулой приведения: при угле $\frac{3\pi }{2}$ синус меняется на косинус, а угол $\frac{3\pi }{2}+x$ при малом $x>0$ лежит в IV четверти, где синус отрицателен. Поэтому

$$\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\cos x.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим оба выражения:

$$4\left(1-{\cos }^{2}x\right)-8\cos x+1=0\iff -4{\cos }^{2}x-8\cos x+5=0\iff 4{\cos }^{2}x+8\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+8t-5=0.$$

Найдём дискриминант: $D=8^2-4\cdot 4\cdot (-5)=64+80=144=12^2$. Тогда

$$t=\frac{-8\pm 12}{8}\iff [\begin{array}{l}t=\frac{1}{2},\\ t=-\frac{5}{2}.\end{array}$$

Значение $-\frac{5}{2}<-1$ не подходит: косинус не бывает меньше $-1$. Остаётся

$$\cos x=\frac{1}{2}.$$

Абсцисса $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть), поэтому $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают обе точки решения: $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти и $\frac{\pi }{3}$ из I четверти.

Переведём их в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $-3\pi =-\frac{18\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{9\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}=-\frac{10\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{11\pi }{3}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{13\pi }{3}<-3\pi$ и $-\frac{\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$; $-\frac{5\pi }{3}$.