ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем косинус двойного угла по формуле $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:

$$4{\cos }^{3}x-2\sqrt{3}\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+3\cos x=2\sqrt{3}.$$

Раскроем скобки:

$$4{\cos }^{3}x-4\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\sqrt{3}+3\cos x=2\sqrt{3}.$$

Слагаемое $2\sqrt{3}$ стоит в обеих частях, вычтем его и вынесем $\cos x$ за скобки:

$$4{\cos }^{3}x-4\sqrt{3}{\cos }^{2}x+3\cos x=0\iff \cos x\left(4{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}\cos x+3\right)=0.$$

Выражение в скобках — полный квадрат по формуле $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=2\cos x$, $b=\sqrt{3}$: $(2\cos x{)}^2-2\cdot 2\cos x\cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2$. Поэтому

$$\cos x{\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)}^2=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Абсцисса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть), поэтому $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$, с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$2\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff 2⩽\frac{1}{2}+k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{3}{2}⩽k⩽3.$$

Подходят $k=2$ и $k=3$, корни $\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}+3\pi =\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$:

$$2⩽\frac{1}{6}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{11}{6}⩽2k⩽\frac{10}{3}\iff \frac{11}{12}⩽k⩽\frac{5}{3}.$$

Подходит только $k=1$, корень $\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$:

$$2⩽-\frac{1}{6}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{13}{6}⩽2k⩽\frac{11}{3}\iff \frac{13}{12}⩽k⩽\frac{11}{6}.$$

Между $\frac{13}{12}\approx 1,08$ и $\frac{11}{6}\approx 1,83$ нет целых чисел, эта серия корней на отрезке не даёт.

Проверим отбор на единичной окружности. Дуга от $2\pi$ (правая точка) до $\frac{7\pi }{2}$ (нижняя точка) проходит I, II и III четверти: на ней лежат верхняя и нижняя точки и точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти, а точка $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти — нет.

На отрезке лежат $\frac{13\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{6}$; $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{2}$.