ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим уравнение с помощью формулы приведения и формулы косинуса двойного угла:

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x,\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1.$$

Подставим их в уравнение:

$$2{\cos }^{2}x-1+\sqrt{3}\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\cos x=0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(2\cos x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — это верхняя и нижняя точки окружности.

Абсцисса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть) и $-\frac{5\pi }{6}$ (III четверть), поэтому $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают нижняя и верхняя (конец дуги) точки серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, а также точка $-\frac{5\pi }{6}$ из III четверти. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $-3\pi =-\frac{18\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{9\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $-\frac{5\pi }{2}$ (нижняя точка) и $-\frac{3\pi }{2}$ (конец отрезка): соседние значения $-\frac{7\pi }{2}<-3\pi$ и $-\frac{\pi }{2}>-\frac{3\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{19\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{29\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}$.

На отрезке лежат $-\frac{17\pi }{6}$, $-\frac{5\pi }{2}$, $-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{17\pi }{6}$; $-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{3\pi }{2}$.