ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. По формуле приведения $\cos (\pi -2x)=-\cos 2x$, поэтому $-2\cos (\pi -2x)=2\cos 2x$.

По формуле $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$ (следствие формулы $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$) получаем

$$2+2\cos 2x=2\left(1+\cos 2x\right)=4{\cos }^{2}x.$$

Уравнение примет вид

$$4{\cos }^{2}x+2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\cos x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$4{\cos }^{2}x+2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{6}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Из первой пары вынесем $2\cos x$, из второй $-\sqrt{3}$, учитывая, что $\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}$:

$$2\cos x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)-\sqrt{3}\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0\iff \left(2\cos x+\sqrt{2}\right)\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Абсцисса $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает точкам $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть) и $-\frac{3\pi }{4}$ (III четверть), поэтому $x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Абсцисса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть), поэтому $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают точки $-\frac{3\pi }{4}$ (III четверть), $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть) и $\frac{\pi }{6}$ (I четверть). Точка $\frac{3\pi }{4}$ лежит во II четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{4}<\frac{12\pi }{4}=3\pi$, а следующее значение $\frac{19\pi }{4}>\frac{18\pi }{4}=\frac{9\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{3\pi }{4}+4\pi =\frac{13\pi }{4}$: соседние значения $\frac{5\pi }{4}<3\pi$ и $\frac{21\pi }{4}>\frac{18\pi }{4}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{25\pi }{6}$: соседние значения $\frac{13\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}=3\pi$ и $\frac{37\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}$: соседние значения $\frac{11\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}$ и $\frac{35\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}$.

На отрезке лежат $\frac{13\pi }{4}$, $\frac{23\pi }{6}$, $\frac{25\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$; $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{4}$; $\frac{23\pi }{6}$; $\frac{25\pi }{6}$.