ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$, а по свойству степени $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$:

$$16^{\sin (x+\pi )}=16^{-\sin x}=\frac{1}{16^{\sin x}}.$$

Сделаем замену $t=16^{\sin x}$, причём $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. Уравнение примет вид

$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}.$$

Умножим обе части на $4t$. Так как $t>0$, множитель не равен нулю, и переход равносилен:

$$4t^2+4=17t\iff 4t^2-17t+4=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-17{)}^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225=15^2$. Тогда

$$t=\frac{17\pm 15}{8}\iff [\begin{array}{l}t=4,\\ t=\frac{1}{4}.\end{array}$$

Оба значения положительны, условие $t>0$ выполнено.

Сделаем обратную замену. Приведём всё к основанию $2$: $16^{\sin x}={\left(2^4\right)}^{\sin x}=2^{4\sin x}$, $4=2^2$, $\frac{1}{4}=2^{-2}$.

$$[\begin{array}{l}{2}^{4\sin x}=2^2,\\ 2^{4\sin x}=2^{-2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}4\sin x=2,\\ 4\sin x=-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2},\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Переход к показателям равносилен, так как функция $y=2^u$ возрастает.

Ордината $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть), ордината $-\frac{1}{2}$ — точкам $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть) и $\frac{7\pi }{6}$ (III четверть).

Точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$ диаметрально противоположны, поэтому обе описываются одной серией $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$. Точно так же точки $-\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$ дают серию $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$. Итого $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

На дугу попадают точки $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть), $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть). Точка $\frac{7\pi }{6}$ лежит в III четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}$, $3\pi =\frac{18\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $\frac{7\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{19\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{11\pi }{6}$ и $\frac{17\pi }{6}$: соседние значения $\frac{5\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$ и $\frac{23\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$.

На отрезке лежат $\frac{11\pi }{6}$, $\frac{13\pi }{6}$, $\frac{17\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{6}$; $\frac{13\pi }{6}$; $\frac{17\pi }{6}$.