ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, косинус — чётная: $\sin (-x)=-\sin x$, $\cos (-x)=\cos x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение примет вид

$$2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0.$$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем из них $2\sin x$:

$$2\sin x\left(\cos x-1\right)+\left(\cos x-1\right)=0.$$

Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель $(\cos x-1)$, вынесем его:

$$\left(\cos x-1\right)\left(2\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=1,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из уравнения $\cos x=1$ получаем $x=2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая точка окружности.

Ордината $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Поэтому $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

На дугу попадают правая точка (начало дуги) и точка $-\frac{5\pi }{6}$ из III четверти. Точка $-\frac{\pi }{6}$ лежит в IV четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 6: $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}=\frac{21\pi }{6}$.

Из серии $x=2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi$ (начало отрезка): соседние значения $0<2\pi$ и $4\pi >\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{6}<\frac{12\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{19\pi }{6}$: соседние значения $\frac{7\pi }{6}<\frac{12\pi }{6}$ и $\frac{31\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}$.

На отрезке лежат $2\pi$, $\frac{19\pi }{6}$.

Ответ: а) $2\pi k$; $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{19\pi }{6}$.