ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: показательная функция определена при любом показателе.

По свойству степени ${\left(a^m\right)}^n={\left(a^n\right)}^m$ имеем

$$16^{\cos x}={\left(4^2\right)}^{\cos x}={\left(4^{\cos x}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=4^{\cos x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Уравнение примет вид

$$2t^2-9t+4=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-9{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49=7^2$. Тогда

$$t=\frac{9\pm 7}{4}\iff [\begin{array}{l}t=4,\\ t=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Оба значения положительны, условие $t>0$ выполнено.

Сделаем обратную замену. Запишем правые части как степени четвёрки: $4=4^1$, а $\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4}}=4^{-\frac{1}{2}}$.

$$[\begin{array}{l}{4}^{\cos x}=4^1,\\ 4^{\cos x}=4^{-\frac{1}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=1,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Переход к показателям равносилен: функция $y=4^u$ возрастает и каждое своё значение принимает ровно при одном $u$.

Из уравнения $\cos x=1$ получаем $x=2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая точка окружности.

Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: во II четверти (угол $\frac{2\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$, с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=2\pi k$:

$$-3\pi ⩽2\pi k⩽-\frac{3\pi }{2}\iff -3⩽2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{3}{2}⩽k⩽-\frac{3}{4}.$$

Подходит только $k=-1$, корень $x=-2\pi$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$. Прибавим ко всем частям $\frac{2}{3}$:

$$-3⩽-\frac{2}{3}+2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{7}{3}⩽2k⩽-\frac{5}{6}\iff -\frac{7}{6}⩽k⩽-\frac{5}{12}.$$

Подходит только $k=-1$, корень $x=-\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{8\pi }{3}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$. Вычтем из всех частей $\frac{2}{3}$:

$$-3⩽\frac{2}{3}+2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{11}{3}⩽2k⩽-\frac{13}{6}\iff -\frac{11}{6}⩽k⩽-\frac{13}{12}.$$

Между $-\frac{11}{6}\approx -1,83$ и $-\frac{13}{12}\approx -1,08$ нет ни одного целого числа, эта серия корней на отрезке не даёт.

Тот же результат видно на единичной окружности. Дуга от $-3\pi$ (левая точка) до $-\frac{3\pi }{2}$ (верхняя точка) проходит III, IV и I четверти: на ней лежат правая точка и точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти, а точка $\frac{2\pi }{3}$ из II четверти — нет.

На отрезке лежат $-\frac{8\pi }{3}$, $-2\pi$.

Ответ: а) $2\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{8\pi }{3}$; $-2\pi$.