ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая, что $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x.$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$.

По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, поэтому $2{\cos }^{2}x=2-2{\sin }^{2}x$. Подставим оба выражения в уравнение:

$$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x+2-2{\sin }^{2}x=2+\sqrt{6}\cos x.$$

Слагаемые $\sqrt{6}\cos x$ и $2$ стоят в обеих частях, вычтем их. Останется уравнение только относительно $\sin x$, вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sqrt{2}\sin x-2{\sin }^{2}x=0\iff \sin x\left(\sqrt{2}-2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — это правая и левая точки единичной окружности.

Ордината $\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$). Поэтому из второго уравнения $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На эту дугу попадают левая точка (начало дуги) и правая точка серии $x=\pi k$, а также точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти. Точка $\frac{3\pi }{4}$ лежит во II четверти и на дугу не попадает.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Запишем концы со знаменателем 4: $-3\pi =-\frac{12\pi }{4}$, $-\frac{3\pi }{2}=-\frac{6\pi }{4}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ (начало отрезка) и $-2\pi$: соседние значения $-4\pi <-3\pi$ и $-\pi >-\frac{3\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}$ и $\frac{\pi }{4}>-\frac{6\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{4}>-\frac{6\pi }{4}$.

На отрезке лежат $-3\pi$, $-2\pi$, $-\frac{7\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-2\pi$; $-\frac{7\pi }{4}$.