ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем обе скобки по формулам

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ,\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ,$$

учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right)=\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x,$$

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x+\cos x\right)=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\cos x.$$

В левой части сокращаются слагаемые с $\sin x$, в правой — с $\cos x$:

$$\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}\sin x\iff \sin x=\cos x.$$

На корнях этого уравнения $\cos x\ne 0$: иначе и $\sin x=0$, что противоречит тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Разделим обе части на $\cos x\ne 0$:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{4}$ в I четверти и $\frac{5\pi }{4}$ в III четверти.

б) Отрезок $[-6\pi ;-5\pi ]$ имеет длину $\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-6\pi$ — правая точка, конец $-5\pi =-6\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим верхнюю половину окружности — I и II четверти.

Точка $\frac{\pi }{4}$ лежит на дуге, точка $\frac{5\pi }{4}$ из III четверти — нет.

Точке I четверти на этой дуге соответствует число $-6\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{23\pi }{4}$. Проверим: $-\frac{24\pi }{4}<-\frac{23\pi }{4}<-\frac{20\pi }{4}$, корень на отрезке. Соседние значения серии $-\frac{27\pi }{4}<-6\pi$ и $-\frac{19\pi }{4}>-5\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{23\pi }{4}$.