ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Подставим оба выражения в уравнение:

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin x=0\iff -\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\iff \sin x=-\sqrt{3}\cos x.$$

Это однородное уравнение первой степени. На его корнях $\cos x\ne 0$: если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому разделим обе части на $\cos x\ne 0$ — переход равносильный:

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\iff x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия даёт две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi }{3}$ в IV четверти и $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ во II четверти.

б) Отрезок $\left[\frac{13\pi }{2};8\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{13\pi }{2}=6\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $8\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти, поэтому обе точки серии — во II и в IV четвертях — лежат на дуге.

Найдём соответствующие числа. Точке II четверти отвечает $6\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{20\pi }{3}$, точке IV четверти — $8\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{23\pi }{3}$.

Проверим, переведя к знаменателю $6$: $\frac{39\pi }{6}⩽\frac{40\pi }{6}<\frac{46\pi }{6}⩽\frac{48\pi }{6}$, оба корня на отрезке. Соседние значения серии $\frac{17\pi }{3}=\frac{34\pi }{6}<\frac{13\pi }{2}$ и $\frac{26\pi }{3}>8\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{20\pi }{3}$; $\frac{23\pi }{3}$.