ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция: $\sin (-x)=-\sin x$, поэтому $-3\sin (-x)=3\sin x$. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$1-2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0\iff 2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2-3t+1=0,D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,t=\frac{3\pm 1}{4}.$$

Получаем $t=1$ или $t=\frac{1}{2}$, оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя точка окружности.

Ординату $\frac{1}{2}$ имеют две точки окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{6}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$). Поэтому $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают верхняя точка (конец дуги) и точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти и дугой не покрыта.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{9\pi }{2}$: соседние значения $\frac{5\pi }{2}<3\pi$ и $\frac{13\pi }{2}>\frac{9\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$: соседние значения $\frac{13\pi }{6}<3\pi$ и $\frac{37\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{17\pi }{6}<\frac{18\pi }{6}=3\pi$, а следующее значение $\frac{29\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\frac{25\pi }{6}$, $\frac{9\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{25\pi }{6}$; $\frac{9\pi }{2}$.