ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По свойствам степени $81^{\cos x}={\left(9^2\right)}^{\cos x}={\left(9^{\cos x}\right)}^2$. Сделаем замену $t=9^{\cos x}$; показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем квадратное уравнение

$$9t^2-28t+3=0.$$

$$D=28^2-4\cdot 9\cdot 3=784-108=676=26^2,t=\frac{28\pm 26}{18}.$$

Отсюда $t=\frac{54}{18}=3$ или $t=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$. Оба значения положительны и подходят.

Сделаем обратную замену и запишем правые части как степени девятки: $3=9^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{9}=9^{-1}$.

$$[\begin{array}{l}{9}^{\cos x}=9^{\frac{1}{2}},\\ 9^{\cos x}=9^{-1}.\end{array}$$

Функция $y=9^u$ строго возрастает, поэтому степени с основанием $9$ равны тогда и только тогда, когда равны показатели:

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2},\\ \cos x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\pi +2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Абсциссу $\frac{1}{2}$ имеют точки $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть), абсциссу $-1$ — левая точка окружности.

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

На дугу попадают левая точка и точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в I четверти и дугой не покрыта.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{3}>4\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$: соседние значения $\frac{5\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>4\pi$.

Из серии $x=\pi +2\pi k$ на отрезок попадает только $3\pi$: соседние значения $\pi <\frac{5\pi }{2}$ и $5\pi >4\pi$.

На отрезке лежат $3\pi$, $\frac{11\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$; $\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$; $\frac{11\pi }{3}$.