ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2\cos x-\sqrt{2}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Из первой пары вынесем $\sin x$, из второй $-1$:

$$\sin x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)-\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0\iff \left(\sin x-1\right)\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Первая серия — верхняя точка окружности. Абсциссу $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеют две точки: $\frac{3\pi }{4}$ во II четверти и $-\frac{3\pi }{4}$ в III четверти.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают верхняя точка (конец дуги) и точка $-\frac{3\pi }{4}$ из III четверти. Точка $\frac{3\pi }{4}$ лежит во II четверти и дугой не покрыта.

Найдём соответствующие числа. Верхней точке отвечает конец отрезка $\frac{5\pi }{2}$, точке III четверти — $2\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$.

Проверим: $\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{5\pi }{2}$. Соседние значения серий вне отрезка: $\frac{\pi }{2}<\pi$ и $\frac{9\pi }{2}>\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{3\pi }{4}<\pi$ и $\frac{13\pi }{4}>\frac{5\pi }{2}$. Серия $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{3\pi }{4}<\pi$, а $\frac{11\pi }{4}>\frac{10\pi }{4}=\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{4}$; $\frac{5\pi }{2}$.