ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$, а по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Кроме того, $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$$2\sin x\left(\cos x+\sqrt{3}\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sqrt{3}\sin x+\cos x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая и левая точки окружности.

Второе уравнение однородное первой степени. На его корнях $\cos x\ne 0$: иначе из уравнения и $\sin x=0$, что противоречит тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Разделим обе части на $\sqrt{3}\cos x\ne 0$:

$$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Эта серия даёт точки $-\frac{\pi }{6}$ в IV четверти и $\frac{5\pi }{6}$ во II четверти.

б) Отрезок $\left[\frac{9\pi }{4};\frac{15\pi }{4}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{9\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$ — середина I четверти, конец $\frac{15\pi }{4}=4\pi -\frac{\pi }{4}$ — середина IV четверти. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим верхнюю, левую и нижнюю точки окружности, а правую точку дуга не содержит.

Из серии $x=\pi k$ на дугу попадает только левая точка. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти и на дуге. Точка $-\frac{\pi }{6}$ хоть и в IV четверти, но дугой не покрыта: она отстоит от правой точки на $\frac{\pi }{6}$, а конец дуги — на $\frac{\pi }{4}>\frac{\pi }{6}$, то есть точка лежит между концом дуги и правой точкой.

Найдём соответствующие числа. Левой точке отвечает $2\pi +\pi =3\pi$, точке II четверти — $2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$.

Проверим, переведя всё к знаменателю $12$: $\frac{27\pi }{12}⩽\frac{34\pi }{12}<\frac{36\pi }{12}⩽\frac{45\pi }{12}$, оба корня на отрезке. Соседние значения серий вне отрезка: $2\pi =\frac{24\pi }{12}$ и $4\pi =\frac{48\pi }{12}$; $\frac{11\pi }{6}=\frac{22\pi }{12}$ и $\frac{23\pi }{6}=\frac{46\pi }{12}$.

Ответ: а) $\pi k$; $-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi }{6}$; $3\pi$.