ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$:

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x\right)=\sqrt{3}\sin x-\cos x.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Подставим оба выражения в уравнение:

$$\sqrt{3}\sin x-\cos x-2\sqrt{3}\sin x=0\iff -\sqrt{3}\sin x-\cos x=0\iff \sqrt{3}\sin x=-\cos x.$$

Это однородное уравнение первой степени. На его корнях $\cos x\ne 0$: если $\cos x=0$, то из уравнения $\sin x=0$, а синус и косинус одного угла одновременно в ноль не обращаются, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому разделим обе части на $\sqrt{3}\cos x\ne 0$ — переход равносильный:

$$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\iff x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия даёт две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi }{6}$ в IV четверти и $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$ во II четверти.

б) Отрезок $\left[-6\pi ;-\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-6\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{9\pi }{2}=-6\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

Точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти лежит на дуге, точка $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти — нет.

Точке II четверти на этой дуге соответствует число $-6\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{31\pi }{6}$. Проверим: $-\frac{36\pi }{6}⩽-\frac{31\pi }{6}⩽-\frac{27\pi }{6}$, корень на отрезке. Соседние значения серии $-\frac{37\pi }{6}<-6\pi$ и $-\frac{25\pi }{6}>-\frac{27\pi }{6}=-\frac{9\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{31\pi }{6}$.