ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ уравнения: $\sin x+\sin 2x+16>0$. Это неравенство верно при всех $x$: так как $\sin x⩾-1$ и $\sin 2x⩾-1$, аргумент логарифма не меньше $-1-1+16=14>0$. Значит, ограничений на $x$ нет.

По определению логарифма ${\log }_{4}a=2$ означает $a=4^2=16$. Поэтому уравнение равносильно

$$\sin x+\sin 2x+16=16\iff \sin x+\sin 2x=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x+2\sin x\cos x=0\iff \sin x\left(1+2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Первая серия — правая и левая точки окружности. Абсциссу $-\frac{1}{2}$ имеют две точки, симметричные относительно оси абсцисс: $\frac{2\pi }{3}$ во II четверти и $-\frac{2\pi }{3}$ в III четверти.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$, с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\pi k$:

$$-4\pi ⩽\pi k⩽-\frac{5\pi }{2}\iff -4⩽k⩽-\frac{5}{2}.$$

Подходят $k=-4$ и $k=-3$, получаем корни $-4\pi$ и $-3\pi$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-4⩽\frac{2}{3}+2k⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{14}{3}⩽2k⩽-\frac{19}{6}\iff -\frac{7}{3}⩽k⩽-\frac{19}{12}.$$

Так как $-\frac{7}{3}\approx -2,33$ и $-\frac{19}{12}\approx -1,58$, подходит только $k=-2$: $x=\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{10\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-4⩽-\frac{2}{3}+2k⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{10}{3}⩽2k⩽-\frac{11}{6}\iff -\frac{5}{3}⩽k⩽-\frac{11}{12}.$$

Так как $-\frac{5}{3}\approx -1,67$ и $-\frac{11}{12}\approx -0,92$, подходит только $k=-1$: $x=-\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{8\pi }{3}$.

Проверим себя на единичной окружности. Начало отрезка $-4\pi$ — правая точка, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя, дуга покрывает I, II и III четверти. На ней лежат правая и левая точки, точка II четверти и точка III четверти — ровно четыре найденных корня.

Расположим корни по возрастанию: на отрезке лежат $-4\pi$, $-\frac{10\pi }{3}$, $-3\pi$, $-\frac{8\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$; $-\frac{10\pi }{3}$; $-3\pi$; $-\frac{8\pi }{3}$.