ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим правую часть. Прибавим к аргументу период $2\pi$ и применим формулу приведения:

$$\sin \left(2x-\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x.$$

Кроме того, $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. Чтобы все функции были от одного угла $2x$, применим формулы двойного угла:

$$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x,\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x.$$

Подставим всё в уравнение:

$$2{\sin }^{2}2x\cos 2x-\frac{1}{2}\left(1-2{\sin }^{2}2x\right)=\cos 2x.$$

Раскроем скобки, перенесём $\cos 2x$ влево и умножим обе части на $2$:

$$4{\sin }^{2}2x\cos 2x-1+2{\sin }^{2}2x-2\cos 2x=0.$$

Сгруппируем первое слагаемое с четвёртым, а второе с третьим:

$$2\cos 2x\left(2{\sin }^{2}2x-1\right)+\left(2{\sin }^{2}2x-1\right)=0\iff \left(2{\sin }^{2}2x-1\right)\left(2\cos 2x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}2{\sin }^{2}2x-1=0,\\ 2\cos 2x+1=0.\end{array}$$

Первое уравнение удобно решить, снова свернув его по формуле косинуса двойного угла: $1-2{\sin }^{2}2x=\cos 4x$, поэтому

$$2{\sin }^{2}2x-1=0\iff \cos 4x=0\iff 4x=\frac{\pi }{2}+\pi k\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}.$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x=-\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) На отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-\frac{5\pi }{2}\right]$ серия с шагом $\frac{\pi }{4}$ даёт много точек, поэтому отберём корни надёжнее — двойными неравенствами. Для каждой серии разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$:

$$-\frac{7}{2}⩽\frac{1}{3}+k⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{23}{6}⩽k⩽-\frac{17}{6}.$$

Так как $-\frac{23}{6}\approx -3,83$ и $-\frac{17}{6}\approx -2,83$, подходит только $k=-3$: $x=\frac{\pi }{3}-3\pi =-\frac{8\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$:

$$-\frac{7}{2}⩽-\frac{1}{3}+k⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{19}{6}⩽k⩽-\frac{13}{6}.$$

Так как $-\frac{19}{6}\approx -3,17$ и $-\frac{13}{6}\approx -2,17$, подходит только $k=-3$: $x=-\frac{\pi }{3}-3\pi =-\frac{10\pi }{3}$.

Серия $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4}$. Умножим все части неравенства на $8$:

$$-\frac{7}{2}⩽\frac{1}{8}+\frac{k}{4}⩽-\frac{5}{2}\iff -28⩽1+2k⩽-20\iff -\frac{29}{2}⩽k⩽-\frac{21}{2}.$$

Подходят $k=-14,-13,-12,-11$. Так как $x=\frac{\pi }{8}+\frac{2\pi k}{8}=\frac{(1+2k)\pi }{8}$, получаем корни $-\frac{27\pi }{8}$, $-\frac{25\pi }{8}$, $-\frac{23\pi }{8}$, $-\frac{21\pi }{8}$.

Покажем найденные корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя, дуга — левая половина окружности. На ней лежат точка $-\frac{10\pi }{3}$ во II четверти, $-\frac{8\pi }{3}$ в III четверти и четыре точки серии с шагом $\frac{\pi }{4}$.

Расположим корни по возрастанию: $-\frac{27\pi }{8}<-\frac{10\pi }{3}<-\frac{25\pi }{8}<-\frac{23\pi }{8}<-\frac{8\pi }{3}<-\frac{21\pi }{8}$ (для сравнения: $-3,375\pi$, $-3,33\dots \pi$, $-3,125\pi$, $-2,875\pi$, $-2,66\dots \pi$, $-2,625\pi$).

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$; $\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{4},k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{27\pi }{8}$; $-\frac{10\pi }{3}$; $-\frac{25\pi }{8}$; $-\frac{23\pi }{8}$; $-\frac{8\pi }{3}$; $-\frac{21\pi }{8}$.