ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Найдём ограничения. Тангенс и дробь $\frac{5}{\cos x}$ определены, только если

$$\cos x\ne 0.$$

Так как $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, уравнение можно записать в виде

$$\frac{3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{5}{\cos x}+1=0.$$

Умножим обе части на ${\cos }^{2}x$. При условии $\cos x\ne 0$ это равносильный переход:

$$3{\sin }^{2}x-5\cos x+{\cos }^{2}x=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, тогда

$$3-3{\cos }^{2}x-5\cos x+{\cos }^{2}x=0\iff 2{\cos }^{2}x+5\cos x-3=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$ и $t\ne 0$:

$$2t^2+5t-3=0,D=5^2-4\cdot 2\cdot (-3)=49=7^2,t=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

Получаем $t=\frac{1}{2}$ или $t=-3$. Значение $t=-3$ не подходит: косинус не бывает меньше $-1$. Значение $t=\frac{1}{2}$ лежит на $[-1;1]$ и отлично от нуля, поэтому ограничение выполнено:

$$\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в I четверти и на дугу не попадает. Точка $-\frac{\pi }{3}$ лежит в IV четверти и дугой покрыта.

Точке $-\frac{\pi }{3}$ на этой дуге соответствует число $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{7\pi }{3}$. Проверим: $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{14\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$, корень на отрезке. Соседние значения серии $-\frac{13\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{3}>-2\pi$ лежат вне отрезка. Серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{11\pi }{3}=-\frac{22\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а $-\frac{5\pi }{3}>-2\pi$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$.