ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Левая часть — разность четвёртых степеней. По формуле $a^4-b^4=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)$:

$${\cos }^4\frac{x}{4}-{\sin }^4\frac{x}{4}=\left({\cos }^2\frac{x}{4}-{\sin }^2\frac{x}{4}\right)\left({\cos }^2\frac{x}{4}+{\sin }^2\frac{x}{4}\right).$$

Вторая скобка по основному тригонометрическому тождеству равна $1$. Первая скобка по формуле косинуса двойного угла ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$ при $\alpha =\frac{x}{4}$ равна $\cos \frac{x}{2}$. Значит, левая часть равна $\cos \frac{x}{2}$.

Правую часть преобразуем, пользуясь нечётностью синуса и формулой приведения:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos x.$$

Уравнение принимает вид $\cos \frac{x}{2}=-\cos x$. Чтобы получить уравнение с одним углом, выразим $\cos x$ через половинный угол по формуле $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ при $\alpha =\frac{x}{2}$:

$$\cos \frac{x}{2}=-\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-1\right)\iff 2{\cos }^2\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}-1=0.$$

Сделаем замену $t=\cos \frac{x}{2}$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+t-1=0,D=1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=9,t=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

Получаем $t=\frac{1}{2}$ или $t=-1$, оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\cos \frac{x}{2}=-1,\\ \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\pi +2\pi k,\\ \frac{x}{2}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\pi +4\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Обратим внимание: при умножении на $2$ период серий тоже удваивается и становится равным $4\pi$.

б) Отрезок $[\pi ;5\pi ]$ имеет длину $4\pi >2\pi$, поэтому отберём корни с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=2\pi +4\pi k$:

$$\pi ⩽2\pi +4\pi k⩽5\pi \iff -1⩽4k⩽3\iff -\frac{1}{4}⩽k⩽\frac{3}{4}.$$

Подходит только $k=0$, получаем $x=2\pi$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+4\pi k$:

$$\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+4\pi k⩽5\pi \iff \frac{1}{3}⩽4k⩽\frac{13}{3}\iff \frac{1}{12}⩽k⩽\frac{13}{12}.$$

Подходит только $k=1$, получаем $x=\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{14\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+4\pi k$:

$$\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+4\pi k⩽5\pi \iff \frac{5}{3}⩽4k⩽\frac{17}{3}\iff \frac{5}{12}⩽k⩽\frac{17}{12}.$$

Подходит только $k=1$, получаем $x=-\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{10\pi }{3}$.

Расположим корни по возрастанию: на отрезке лежат $2\pi$, $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{14\pi }{3}$.

Ответ: а) $2\pi +4\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{10\pi }{3}$; $\frac{14\pi }{3}$.