ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (x-\pi )=\cos (\pi -x)$, а по формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Уравнение принимает вид

$$\cos 2x-\cos x+1=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:

$$2{\cos }^{2}x-1-\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x-\cos x=0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x\left(2\cos x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Первая серия — верхняя и нижняя точки окружности. Абсциссу $\frac{1}{2}$ имеют две точки, симметричные относительно оси абсцисс: $\frac{\pi }{3}$ в I четверти и $-\frac{\pi }{3}$ в IV четверти.

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

На дугу попадают верхняя точка (начало дуги), нижняя точка и точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в I четверти и дугой не покрыта.

Найдём соответствующие числа. Верхней точке отвечает начало отрезка $\frac{5\pi }{2}$, нижней — $2\pi +\frac{3\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$, точке IV четверти — $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$.

Проверим: $\frac{5\pi }{2}⩽\frac{7\pi }{2}⩽4\pi$ и $\frac{15\pi }{6}⩽\frac{22\pi }{6}⩽\frac{24\pi }{6}$. Следующие значения серий выходят за отрезок: $\frac{9\pi }{2}>4\pi$ и $\frac{17\pi }{3}>4\pi$, предыдущие $\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{3}$ меньше $\frac{5\pi }{2}$. Серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$, а $\frac{13\pi }{3}>4\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{2}$; $\frac{11\pi }{3}$.