ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $\cos x$ в правую часть и разделим обе части на $2$:

$$\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x.$$

Коэффициенты справа — это значения косинуса и синуса угла $\frac{\pi }{6}$:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}.$$

Поэтому по формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ правая часть сворачивается:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$$

Уравнение равносильно уравнению

$$\sin 3x=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$$

Синусы двух углов равны, когда точки этих углов на единичной окружности имеют одинаковую ординату: либо точки совпадают, либо симметричны относительно оси ординат. Значит, $\sin \alpha =\sin \beta$ равносильно совокупности $\alpha =\beta +2\pi k$ или $\alpha =\pi -\beta +2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$:

$$[\begin{array}{l}3x=x+\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ 3x=\pi -x-\frac{\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ 4x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi k}{2},\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $\frac{\pi }{2}$ — верхняя. Дуга проходит через правую точку и покрывает IV и I четверти, то есть правую половину окружности.

Серия $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{12}$ в I четверти и $\frac{13\pi }{12}$ в III. На дугу попадает только первая.

Серия $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi k}{2}$ даёт четыре точки — по одной в каждой четверти, через четверть оборота: $\frac{5\pi }{24}$, $\frac{17\pi }{24}$, $\frac{29\pi }{24}$, $\frac{41\pi }{24}$. На правую половину окружности попадают точка I четверти $\frac{5\pi }{24}$ и точка IV четверти $\frac{41\pi }{24}-2\pi =-\frac{7\pi }{24}$.

Проверим соседние значения серий.

Из серии $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{12}$: соседние значения $-\frac{11\pi }{12}<-\frac{6\pi }{12}=-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{13\pi }{12}>\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi k}{2}$ на отрезок попадают $-\frac{7\pi }{24}$ и $\frac{5\pi }{24}$: соседние значения $-\frac{19\pi }{24}<-\frac{12\pi }{24}=-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{24}>\frac{12\pi }{24}=\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{24}$, $\frac{\pi }{12}$, $\frac{5\pi }{24}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{12}+\pi k$; $\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{24}$; $\frac{\pi }{12}$; $\frac{5\pi }{24}$.