ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$, поэтому

$$2-2{\cos }^{2}x=2\left(1-{\cos }^{2}x\right)=2{\sin }^{2}x.$$

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$, значит, $-2\sin (x+\pi )=2\sin x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x.$$

Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем их попарно:

$$2{\sin }^{2}x-2\sin x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0\iff 2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{3}\left(\sin x-1\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x-1$ за скобки:

$$\left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя точка окружности.

Ординату $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеют две точки окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому из второго уравнения $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

На дугу попадают верхняя точка (серия $\frac{\pi }{2}+2\pi k$) и точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти. Точка $-\frac{\pi }{3}$ лежит в IV четверти и дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге. Верхней точке отвечает $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}$, точке III четверти — $-2\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{8\pi }{3}$.

Проверим концы: $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}<-\frac{5\pi }{2}$ и $-\frac{24\pi }{6}<-\frac{16\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}$, оба числа на отрезке. Соседние значения тех же серий вне отрезка: $-\frac{11\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{14\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$. У серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ ближайшие значения $-\frac{13\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{7\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$ — на отрезок она не попадает.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{8\pi }{3}$.