ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1.$$

Слагаемое $\sqrt{3}\cos x$ есть в обеих частях, вычтем его:

$$\sin x+\cos 2x-1=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому $\cos 2x-1=-2{\sin }^{2}x$, и уравнение содержит только $\sin x$:

$$\sin x-2{\sin }^{2}x=0\iff \sin x\left(1-2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — это правая и левая точки единичной окружности.

Ординату $\frac{1}{2}$ имеют две точки окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{6}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$). Поэтому из второго уравнения $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

На эту дугу попадают левая точка (начало дуги) и правая точка серии $x=\pi k$, а также точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти и дугой не покрыта.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ (левая точка) и $-2\pi$ (правая точка): соседние значения $-4\pi <-3\pi$ и $-\pi >-\frac{3\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{23\pi }{6}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{6}>-\frac{3\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{19\pi }{6}<-\frac{18\pi }{6}=-3\pi$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{6}>-\frac{9\pi }{6}=-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-3\pi$, $-2\pi$, $-\frac{11\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-2\pi$; $-\frac{11\pi }{6}$.