ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: синус и косинус определены при любом аргументе, а показательная функция — при любом показателе.

Упростим показатели степеней по формулам приведения:

$$\sin (x+\pi )=-\sin x,\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\sin x}=2^{2\sqrt{3}\cos x}.$$

Запишем левую часть как степень двойки. Так как $\frac{1}{4}=2^{-2}$, по свойству степени ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$ получаем

$${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\sin x}={\left(2^{-2}\right)}^{-\sin x}=2^{2\sin x}.$$

Уравнение становится равенством двух степеней с одним основанием:

$$2^{2\sin x}=2^{2\sqrt{3}\cos x}.$$

Функция $y=2^t$ строго возрастает, поэтому каждое своё значение принимает ровно при одном $t$. Значит, степени с основанием $2$ равны тогда и только тогда, когда равны их показатели:

$$2\sin x=2\sqrt{3}\cos x\iff \sin x=\sqrt{3}\cos x.$$

Это однородное уравнение первой степени. Покажем, что на его корнях $\cos x\ne 0$. Если $\cos x=0$, то из уравнения $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут обращаться в ноль одновременно, ведь ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{3}$ в I четверти и $\frac{4\pi }{3}$ в III четверти. На дугу попадает только точка I четверти.

Точке $\frac{\pi }{3}$ на этой дуге соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$. Проверим: $-\frac{27\pi }{6}⩽-\frac{22\pi }{6}⩽-\frac{18\pi }{6}$, корень лежит на отрезке. Соседние значения серии $-\frac{14\pi }{3}=-\frac{28\pi }{6}<-\frac{9\pi }{2}$ и $-\frac{8\pi }{3}>-3\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$.