ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Приведём обе части к основанию 4: $16=4^2$ и $\frac{1}{4}=4^{-1}$, поэтому

$$16^{\sqrt{3}\sin x}=4^{2\sqrt{3}\sin x},{\left(\frac{1}{4}\right)}^{2\sin 2x}=4^{-2\sin 2x}.$$

Функция $y=4^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$2\sqrt{3}\sin x=-2\sin 2x\iff \sqrt{3}\sin x=-\sin 2x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $\sin x$:

$$\sqrt{3}\sin x+2\sin x\cos x=0\iff \sin x\left(\sqrt{3}+2\cos x\right)=0.$$

Делить на $\sin x$ нельзя — так потерялись бы корни, в которых $\sin x=0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни двойным неравенством $2\pi ⩽x⩽\frac{7\pi }{2}$, подставляя каждую серию и разделив на $\pi$.

Серия $x=\pi k$:

$$2⩽k⩽\frac{7}{2}.$$

Подходят $k=2$ и $k=3$, им соответствуют корни $x=2\pi$ и $x=3\pi$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$. Вычтем $\frac{5}{6}$ из всех частей и разделим на 2:

$$2⩽\frac{5}{6}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{7}{6}⩽2k⩽\frac{8}{3}\iff \frac{7}{12}⩽k⩽\frac{4}{3}.$$

Подходит только $k=1$, ему соответствует корень $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$. Прибавим $\frac{5}{6}$ ко всем частям и разделим на 2:

$$2⩽-\frac{5}{6}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{17}{6}⩽2k⩽\frac{13}{3}\iff \frac{17}{12}⩽k⩽\frac{13}{6}.$$

Так как $\frac{17}{12}\approx 1,42$ и $\frac{13}{6}\approx 2,17$, подходит только $k=2$, ему соответствует корень $x=-\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{19\pi }{6}$.

Проверим себя на единичной окружности. Отрезок начинается в правой точке $2\pi$ и заканчивается в нижней точке $\frac{7\pi }{2}$, дуга проходит I, II и III четверти. На ней лежат правая и левая точки серии $x=\pi k$ и точки $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть) и $\frac{7\pi }{6}$ (III четверть).

На отрезке лежат корни $2\pi$, $\frac{17\pi }{6}$, $3\pi$, $\frac{19\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$, $\frac{17\pi }{6}$, $3\pi$, $\frac{19\pi }{6}$.