ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(x+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2\left(1-2{\sin }^{2}x\right)-4\sqrt{2}\sin x+4=0\iff -4{\sin }^{2}x-4\sqrt{2}\sin x+6=0.$$

Разделим на $-2$:

$$2{\sin }^{2}x+2\sqrt{2}\sin x-3=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+2\sqrt{2}t-3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=8+24=32={\left(4\sqrt{2}\right)}^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},t_2=\frac{-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Значение $t_2=-\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx -2,12<-1$ синус принять не может, его отбрасываем. Сделаем обратную замену для $t_1$:

$$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 4: $\pi =\frac{4\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{2}=\frac{10\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ — точка в I четверти. При $k=1$ получаем $\frac{9\pi }{4}$, и $\frac{4\pi }{4}⩽\frac{9\pi }{4}⩽\frac{10\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{\pi }{4}<\pi$ и $\frac{17\pi }{4}>\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ — точка во II четверти, а II четверть на дугу не входит. Действительно, $\frac{3\pi }{4}<\pi$, а следующее значение $\frac{11\pi }{4}>\frac{10\pi }{4}$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{9\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{9\pi }{4}$.