ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(2x+\frac{3\pi }{2}\right)=\sin 2x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых положительных $2x$ угол $\frac{3\pi }{2}+2x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$4\sqrt{3}{\sin }^{3}x=2\sin x\cos x\iff 4\sqrt{3}{\sin }^{3}x-2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\sin x$:

$$2\sin x\left(2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\cos x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ 2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\cos x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Во втором уравнении по основному тригонометрическому тождеству заменим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$$2\sqrt{3}\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\cos x=0\iff 2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\cos x-2\sqrt{3}=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2\sqrt{3}{t}^2+t-2\sqrt{3}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 2\sqrt{3}\cdot \left(-2\sqrt{3}\right)=1+48=49=7^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-1+7}{4\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},t_2=\frac{-1-7}{4\sqrt{3}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Значение $t_2=-\frac{2}{\sqrt{3}}<-1$, так как $2>\sqrt{3}$, — косинус его принять не может. Остаётся

$$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{9\pi }{2};6\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $6\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $\frac{9\pi }{2}=\frac{27\pi }{6}$, $6\pi =\frac{36\pi }{6}$.

Серия $x=\pi k$ — левая и правая точки, обе лежат на дуге. Левой точке соответствует $5\pi$, правой — $6\pi$ (конец отрезка). Соседние значения $4\pi <\frac{9\pi }{2}$ и $7\pi >6\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в IV четверти. При $k=3$ получаем $\frac{35\pi }{6}$, и $\frac{27\pi }{6}⩽\frac{35\pi }{6}⩽\frac{36\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{23\pi }{6}$ и $\frac{47\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в I четверти, а I четверть на дугу не входит. Действительно, $\frac{25\pi }{6}<\frac{27\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{37\pi }{6}>\frac{36\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $5\pi$, $\frac{35\pi }{6}$, $6\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $5\pi$, $\frac{35\pi }{6}$, $6\pi$.