ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$: угол $\frac{\pi }{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых положительных $2x$ угол $\frac{\pi }{2}+2x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$4\sqrt{3}{\cos }^{3}x=-2\sin x\cos x\iff 4\sqrt{3}{\cos }^{3}x+2\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $2\cos x$:

$$2\cos x\left(2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sin x\right)=0\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ 2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sin x=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Во втором уравнении по основному тригонометрическому тождеству заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$2\sqrt{3}\left(1-{\sin }^{2}x\right)+\sin x=0\iff 2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\sin x-2\sqrt{3}=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2\sqrt{3}{t}^2-t-2\sqrt{3}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\sqrt{3}\cdot \left(-2\sqrt{3}\right)=1+48=49=7^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{1+7}{4\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},t_2=\frac{1-7}{4\sqrt{3}}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значение $t_1=\frac{2}{\sqrt{3}}>1$, так как $2>\sqrt{3}$, — синус его принять не может. Остаётся

$$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-4\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $-4\pi =-\frac{24\pi }{6}$, $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{15\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки, обе лежат на дуге. Верхней точке соответствует $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}$, нижней — $-\frac{5\pi }{2}$ (конец отрезка). Соседние значения $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — точка в III четверти. При $k=-1$ получаем $-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}$, и $-\frac{24\pi }{6}⩽-\frac{16\pi }{6}⩽-\frac{15\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{14\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в IV четверти, а IV четверть на дугу не входит. Действительно, $-\frac{13\pi }{3}<-4\pi$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{2}$.