ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Применим формулы приведения. Угол $\frac{\pi }{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус; при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен: $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}\right)=-\sin \frac{x}{2}$. Угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, функция не меняется; угол $\pi +x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен: $\sin (\pi +x)=-\sin x$. Получаем

$$-\sin \frac{x}{2}+\sin x=0.$$

Чтобы оба слагаемых зависели от одного угла $\frac{x}{2}$, применим формулу синуса двойного угла: $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$. Вынесем общий множитель $\sin \frac{x}{2}$:

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0\iff \sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin \frac{x}{2}=0,\\ \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\frac{x}{2}=\pi k,\\ \frac{x}{2}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+4\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Обратим внимание: после умножения на 2 период второй серии стал равен $4\pi$.

б) Длина отрезка $[-7\pi ;-4\pi ]$ равна $3\pi >2\pi$, а у второй и третьей серий период $4\pi$, поэтому отбор на одной окружности неудобен. Выполним отбор двойным неравенством $-7\pi ⩽x⩽-4\pi$ для каждой серии.

Серия $x=2\pi k$:

$$-7\pi ⩽2\pi k⩽-4\pi \iff -\frac{7}{2}⩽k⩽-2.$$

Подходят $k=-3$ и $k=-2$, им соответствуют корни $x=-6\pi$ и $x=-4\pi$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+4\pi k$. Вычтем $\frac{2\pi }{3}$ из всех частей и разделим на $4\pi$:

$$-7\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+4\pi k⩽-4\pi \iff -\frac{23\pi }{3}⩽4\pi k⩽-\frac{14\pi }{3}\iff -\frac{23}{12}⩽k⩽-\frac{7}{6}.$$

Так как $-\frac{23}{12}\approx -1,92$ и $-\frac{7}{6}\approx -1,17$, целых $k$ между ними нет — корней этой серии на отрезке нет.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+4\pi k$. Прибавим $\frac{2\pi }{3}$ ко всем частям и разделим на $4\pi$:

$$-7\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+4\pi k⩽-4\pi \iff -\frac{19\pi }{3}⩽4\pi k⩽-\frac{10\pi }{3}\iff -\frac{19}{12}⩽k⩽-\frac{5}{6}.$$

Так как $-\frac{19}{12}\approx -1,58$ и $-\frac{5}{6}\approx -0,83$, подходит только $k=-1$, ему соответствует корень $x=-\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{14\pi }{3}$.

На отрезке лежат корни $-6\pi$, $-\frac{14\pi }{3}$, $-4\pi$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-6\pi$, $-\frac{14\pi }{3}$, $-4\pi$.