ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$: показательная функция определена для любого показателя. Ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (\pi +x)=-\sin x$: угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, поэтому синус не меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\pi +x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Уравнение принимает вид

$$4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\frac{5}{2}.$$

Сделаем замену $t=4^{\sin x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. По свойству степени $4^{-\sin x}=\frac{1}{4^{\sin x}}=\frac{1}{t}$. Получаем

$$t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}.$$

Умножим обе части на $2t$. Так как $t>0$, это равносильный переход:

$$2t^2+2=5t\iff 2t^2-5t+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9=3^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{5+3}{4}=2,t_2=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}.$$

Оба значения положительны. Сделаем обратную замену, записав правые части как степени четвёрки: $2=4^{\frac{1}{2}}$, $\frac{1}{2}=4^{-\frac{1}{2}}$. Функция $y=4^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}{4}^{\sin x}=4^{\frac{1}{2}},\\ 4^{\sin x}=4^{-\frac{1}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2},\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$, уравнение $\sin x=-\frac{1}{2}$ — точки $\frac{7\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}$. Точки $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$ диаметрально противоположны, как и точки $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+2\pi$. Поэтому все решения записываются двумя сериями с периодом $\pi$:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни двойным неравенством $\frac{5\pi }{2}⩽x⩽4\pi$, подставляя каждую серию и разделив на $\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$:

$$\frac{5}{2}⩽\frac{1}{6}+k⩽4\iff \frac{7}{3}⩽k⩽\frac{23}{6}.$$

Так как $\frac{7}{3}\approx 2,33$ и $\frac{23}{6}\approx 3,83$, подходит только $k=3$, ему соответствует корень $x=\frac{\pi }{6}+3\pi =\frac{19\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$:

$$\frac{5}{2}⩽-\frac{1}{6}+k⩽4\iff \frac{8}{3}⩽k⩽\frac{25}{6}.$$

Так как $\frac{8}{3}\approx 2,67$ и $\frac{25}{6}\approx 4,17$, подходят $k=3$ и $k=4$, им соответствуют корни $x=-\frac{\pi }{6}+3\pi =\frac{17\pi }{6}$ и $x=-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}$.

Проверим себя на единичной окружности. Отрезок начинается в верхней точке $\frac{5\pi }{2}$ и заканчивается в правой точке $4\pi$, дуга проходит II, III и IV четверти — на ней лежат точки серий во II, III и IV четвертях, а точка I четверти не попадает.

На отрезке лежат корни $\frac{17\pi }{6}$, $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{23\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{17\pi }{6}$, $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{23\pi }{6}$.