ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Чтобы в уравнении осталась одна функция, по основному тригонометрическому тождеству заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$2{\sin }^{3}x=\sqrt{3}\left(1-{\sin }^{2}x\right)+2\sin x\iff 2{\sin }^{3}x+\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общий множитель $2\sin x+\sqrt{3}$:

$${\sin }^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)-\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0\iff \left(2\sin x+\sqrt{3}\right)\left({\sin }^{2}x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\\ {\sin }^{2}x=1.\end{array}$$

Первое уравнение даёт две серии: $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ (точка в IV четверти) и $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ (точка в III четверти).

Второе уравнение равносильно $\sin x=\pm 1$, то есть верхней и нижней точкам окружности. Они отстоят друг от друга на $\pi$, поэтому обе записываются одной серией $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $2\pi$ — правая точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим I, II и III четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}=\frac{21\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки, обе лежат на дуге. Верхней точке соответствует $\frac{5\pi }{2}$, нижней — $\frac{7\pi }{2}$ (конец отрезка). Соседние значения $\frac{3\pi }{2}<2\pi$ и $\frac{9\pi }{2}>\frac{7\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — точка в III четверти. При $k=2$ получаем $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}$, и $\frac{12\pi }{6}⩽\frac{20\pi }{6}⩽\frac{21\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{4\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{16\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в IV четверти, а IV четверть на дугу не входит. Действительно, $\frac{5\pi }{3}<2\pi$, а следующее значение $\frac{11\pi }{3}=\frac{22\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{2}$.