ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно,

$$4x^2-1⩾0\iff x^2⩾\frac{1}{4}\iff x\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right).$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Второй множитель определён при всех $x$, поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}4x^2-1=0,\\ 4^{3x+1}-26\cdot 8^x+12=0,\end{array}\\ 4x^2-1⩾0.\end{array}$$

Первое уравнение совокупности: $x^2=\frac{1}{4}$, то есть $x=\pm \frac{1}{2}$. Оба числа удовлетворяют ОДЗ — при них подкоренное выражение равно нулю.

Второе уравнение совокупности. Приведём степени к основанию 2: $4^{3x+1}=4\cdot 4^{3x}=4\cdot 2^{6x}=4\cdot {\left(2^{3x}\right)}^2$ и $8^x={\left(2^3\right)}^x=2^{3x}$. Получаем

$$4\cdot {\left(2^{3x}\right)}^2-26\cdot 2^{3x}+12=0.$$

Сделаем замену $t=2^{3x}$, где $t>0$, так как показательная функция принимает только положительные значения. Разделим уравнение на 2:

$$4t^2-26t+12=0\iff 2t^2-13t+6=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-13{)}^2-4\cdot 2\cdot 6=169-48=121=11^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{13-11}{4}=\frac{1}{2},t_2=\frac{13+11}{4}=6.$$

Оба значения положительны. Сделаем обратную замену.

Если $2^{3x}=\frac{1}{2}=2^{-1}$, то, так как функция $y=2^u$ монотонна, $3x=-1$, $x=-\frac{1}{3}$. Но $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$, то есть это число не входит в ОДЗ: подкоренное выражение $4\cdot \frac{1}{9}-1=-\frac{5}{9}<0$. Корень $-\frac{1}{3}$ посторонний.

Если $2^{3x}=6$, то по определению логарифма $3x={\log }_{2}6$, $x=\frac{1}{3}{\log }_{2}6$. Проверим ОДЗ: функция $y={\log }_{2}u$ возрастает, поэтому ${\log }_{2}6>{\log }_{2}4=2$, и $x>\frac{2}{3}>\frac{1}{2}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Решения уравнения: $x=-\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{3}{\log }_{2}6$.

б) Корни $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ очевидно лежат на отрезке $[-1;1]$.

Для третьего корня снова используем возрастание логарифма: ${\log }_{2}6<{\log }_{2}8=3$, поэтому

$$-1<0<\frac{1}{3}{\log }_{2}6<\frac{1}{3}\cdot 3=1.$$

Значит, и корень $\frac{1}{3}{\log }_{2}6$ лежит на отрезке. На отрезке $[-1;1]$ лежат все три корня.

Ответ: а) $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}{\log }_{2}6$; б) $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}{\log }_{2}6$.