ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем косинус суммы по формуле $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=2\left(\cos x-\sin x\right).$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+2\left(\cos x-\sin x\right)-1=0.$$

Заменим единицу по основному тригонометрическому тождеству: $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$. Тогда

$$2\left(\cos x-\sin x\right)-\left({\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x\right)=0.$$

В скобке — квадрат разности: ${\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x={\left(\cos x-\sin x\right)}^2$. Вынесем общий множитель $\cos x-\sin x$:

$$2\left(\cos x-\sin x\right)-{\left(\cos x-\sin x\right)}^2=0\iff \left(\cos x-\sin x\right)\left(2-\cos x+\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x-\sin x=0,\\ \cos x-\sin x=2.\end{array}$$

Второе уравнение решений не имеет. По тому же преобразованию, что и выше, $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, и уравнение принимает вид $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$. Но $\sqrt{2}>1$, а косинус не превосходит 1.

Первое уравнение: $\cos x=\sin x$. Если $\cos x=0$, то и $\sin x=0$, что невозможно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Тот же ответ получается и заменой $t=\cos x-\sin x$: тогда $t^2=1-2\sin x\cos x$, то есть $2\sin x\cos x=1-t^2$, и уравнение превращается в $1-t^2+2t-1=0$, или $t(2-t)=0$, — это те же два случая $t=0$ и $t=2$.

б) Длина отрезка $\left[-7\pi ;-\frac{11\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-7\pi =-8\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{11\pi }{2}=-6\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ — это точка $\frac{\pi }{4}$ в I четверти и противоположная ей точка $\frac{5\pi }{4}$ в III четверти. Обе четверти входят в дугу. Запишем концы отрезка со знаменателем 4: $-7\pi =-\frac{28\pi }{4}$, $-\frac{11\pi }{2}=-\frac{22\pi }{4}$.

Точке III четверти на дуге соответствует число $-8\pi +\frac{5\pi }{4}=-\frac{27\pi }{4}$, точке I четверти — число $-6\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{23\pi }{4}$. Оба лежат между $-\frac{28\pi }{4}$ и $-\frac{22\pi }{4}$. Соседние значения серии $-\frac{31\pi }{4}<-\frac{28\pi }{4}$ и $-\frac{19\pi }{4}>-\frac{22\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{27\pi }{4}$, $-\frac{23\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{27\pi }{4}$, $-\frac{23\pi }{4}$.