ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим и раскроем скобки:

$$2{\sin }^{3}x-\sqrt{2}\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+\sin x=-\sqrt{2}\iff 2{\sin }^{3}x-\sqrt{2}+2\sqrt{2}{\sin }^{2}x+\sin x=-\sqrt{2}.$$

Слагаемое $-\sqrt{2}$ стоит в обеих частях, оно сокращается:

$$2{\sin }^{3}x+2\sqrt{2}{\sin }^{2}x+\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$:

$$\sin x\left(2{\sin }^{2}x+2\sqrt{2}\sin x+1\right)=0.$$

Выражение в скобках — полный квадрат: по формуле $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ при $a=\sqrt{2}\sin x$, $b=1$ имеем ${\left(\sqrt{2}\sin x\right)}^2+2\cdot \sqrt{2}\sin x\cdot 1+1^2={\left(\sqrt{2}\sin x+1\right)}^2$. Получаем

$$\sin x{\left(\sqrt{2}\sin x+1\right)}^2=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sqrt{2}\sin x+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $5\pi =4\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки окружности, обе лежат на дуге. Правой точке соответствует $4\pi$, левой — $5\pi$ (конец отрезка). Соседние значения $3\pi <\frac{7\pi }{2}$ и $6\pi >5\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ — точка в IV четверти. При $k=2$ получаем $\frac{15\pi }{4}$, и $\frac{14\pi }{4}⩽\frac{15\pi }{4}⩽\frac{20\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{7\pi }{4}$ и $\frac{23\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ — точка в III четверти, а III четверть на дугу не входит. Действительно, $\frac{13\pi }{4}<\frac{14\pi }{4}$, а следующее значение $\frac{21\pi }{4}>\frac{20\pi }{4}$.

На отрезке лежат корни $\frac{15\pi }{4}$, $4\pi$, $5\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{15\pi }{4}$, $4\pi$, $5\pi$.