ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos (\pi -2x)=-\cos 2x$: угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, поэтому косинус не меняется на синус, а угол $\pi -2x$ при малых $x>0$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен. Тогда

$$2+2\cos (\pi -2x)=2-2\cos 2x=2\left(1-\cos 2x\right)=4{\sin }^{2}x,$$

так как по формуле косинуса двойного угла $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$.

Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$4{\sin }^{2}x+2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Учтём, что $\sqrt{6}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$:

$$2\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)-\sqrt{3}\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0\iff \left(2\sin x+\sqrt{2}\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$, каждое даёт две серии:

$$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{ или }x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{ или }x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ — точка в IV четверти. При $k=2$ получаем $\frac{15\pi }{4}$, и $\frac{12\pi }{4}⩽\frac{15\pi }{4}⩽\frac{18\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{7\pi }{4}<3\pi$ и $\frac{23\pi }{4}>\frac{9\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ — точка в III четверти. При $k=2$ получаем $\frac{13\pi }{4}$, и $\frac{12\pi }{4}⩽\frac{13\pi }{4}⩽\frac{18\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{5\pi }{4}<3\pi$ и $\frac{21\pi }{4}>\frac{9\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в I четверти. При $k=2$ получаем $\frac{13\pi }{3}=\frac{26\pi }{6}$, а конец отрезка $\frac{9\pi }{2}=\frac{27\pi }{6}$, так что корень подходит. Соседние значения $\frac{7\pi }{3}<3\pi$ и $\frac{19\pi }{3}>\frac{9\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — точка во II четверти, а II четверть на дугу не входит. Действительно, $\frac{8\pi }{3}<3\pi$, а следующее значение $\frac{14\pi }{3}=\frac{28\pi }{6}>\frac{27\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{13\pi }{4}$, $\frac{15\pi }{4}$, $\frac{13\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{4}$, $\frac{15\pi }{4}$, $\frac{13\pi }{3}$.