ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Подставим:

$$2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-4\cos x-1=0\iff 4{\cos }^{2}x-4\cos x-3=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2-4t-3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 4\cdot (-3)=16+48=64=8^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2},t_2=\frac{4+8}{8}=\frac{3}{2}.$$

Значение $t_2=\frac{3}{2}>1$ косинус принять не может, его отбрасываем. Сделаем обратную замену для $t_1$:

$$\cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{15\pi }{6}$, $-\pi =-\frac{6\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — точка во II четверти, она лежит на дуге. При $k=-1$ получаем $-\frac{4\pi }{3}=-\frac{8\pi }{6}$, и $-\frac{15\pi }{6}⩽-\frac{8\pi }{6}⩽-\frac{6\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{10\pi }{3}<-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{2\pi }{3}>-\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ — точка в III четверти, а III четверть на дугу не входит. Действительно, при $k=0$ получаем $-\frac{2\pi }{3}>-\pi$, а при $k=-1$ уже $-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}$.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{4\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{4\pi }{3}$.