ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (\pi -x)=\sin x$: угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, поэтому синус не меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\pi -x$ лежит во II четверти, где синус положителен. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$4\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+10\sin x+3=0\iff -8{\sin }^{2}x+10\sin x+7=0\iff 8{\sin }^{2}x-10\sin x-7=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$8t^2-10t-7=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 8\cdot (-7)=100+224=324=18^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{10-18}{16}=-\frac{1}{2},t_2=\frac{10+18}{16}=\frac{7}{4}.$$

Значение $t_2=\frac{7}{4}>1$ синус принять не может, его отбрасываем. Сделаем обратную замену для $t_1$:

$$\sin x=-\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{15\pi }{6}$, $-\pi =-\frac{6\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в IV четверти, она лежит на дуге. При $k=-1$ получаем $-\frac{13\pi }{6}$, и $-\frac{15\pi }{6}⩽-\frac{13\pi }{6}⩽-\frac{6\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}$ и $-\frac{\pi }{6}>-\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка в III четверти, а III четверть на дугу не входит. Действительно, при $k=0$ получаем $-\frac{5\pi }{6}>-\pi$, а при $k=-1$ уже $-\frac{17\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}$.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{13\pi }{6}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{6}$.