ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем скобки по формулам косинуса разности и синуса суммы:

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ,\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$$

Подставим $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. В левой части

$$2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=\cos x+\sqrt{3}\sin x,$$

в правой части

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.$$

Уравнение принимает вид

$$\cos x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}\sin x=\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos x\iff \cos x=\sin x.$$

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{9\pi }{2};-\frac{7\pi }{2}\right]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ — это точка $\frac{\pi }{4}$ в I четверти и противоположная ей точка $\frac{5\pi }{4}$ в III четверти. III четверть на дугу не входит, а точке I четверти на дуге соответствует число $-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$.

Проверим со знаменателем 4: $-\frac{18\pi }{4}⩽-\frac{15\pi }{4}⩽-\frac{14\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения серии $-\frac{19\pi }{4}<-\frac{18\pi }{4}$ и $-\frac{11\pi }{4}>-\frac{14\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{15\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{15\pi }{4}$.