ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Сначала упростим правую часть. Синус — нечётная функция, поэтому $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, а по формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$. Значит, $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$, и уравнение принимает вид

$$\sqrt{4{\sin }^{3}x-4{\cos }^{2}x-\cos x-\sin x+3}=\sqrt{-\cos x}.$$

Ограничения: квадратный корень определён только для неотрицательного подкоренного выражения. Два арифметических корня равны тогда и только тогда, когда равны подкоренные выражения и они неотрицательны. Если подкоренные выражения равны, то достаточно потребовать неотрицательность одного из них — второе ему равно. Возьмём более простое, правое. Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}4{\sin }^{3}x-4{\cos }^{2}x-\cos x-\sin x+3=-\cos x,\\ -\cos x⩾0.\end{array}$$

Решим уравнение системы. Слагаемое $-\cos x$ стоит в обеих частях, после переноса оно сокращается:

$$4{\sin }^{3}x-4{\cos }^{2}x-\sin x+3=0.$$

Чтобы осталась одна функция, по основному тригонометрическому тождеству заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$4{\sin }^{3}x-4\left(1-{\sin }^{2}x\right)-\sin x+3=0\iff 4{\sin }^{3}x+4{\sin }^{2}x-\sin x-1=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общий множитель $\sin x+1$:

$$4{\sin }^{2}x\left(\sin x+1\right)-\left(\sin x+1\right)=0\iff \left(\sin x+1\right)\left(4{\sin }^{2}x-1\right)=0.$$

По формуле разности квадратов $4{\sin }^{2}x-1=(2\sin x-1)(2\sin x+1)$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-1,\\ \sin x=\frac{1}{2},\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Теперь учтём условие системы $\cos x⩽0$.

Если $\sin x=-1$, то $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Это нижняя точка окружности, в ней $\cos x=0$, и условие $\cos x⩽0$ выполнено. Серия подходит.

Уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт две серии: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$. Точка $\frac{\pi }{6}$ лежит в I четверти, где $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$, — эта серия не подходит. Точка $\frac{5\pi }{6}$ лежит во II четверти, где $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$, — серия подходит.

Уравнение $\sin x=-\frac{1}{2}$ тоже даёт две серии: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$. Точка $-\frac{\pi }{6}$ лежит в IV четверти, где $\cos x>0$, — не подходит. Точка $-\frac{5\pi }{6}$ лежит в III четверти, где $\cos x<0$, — подходит.

Итак, решения уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{9\pi }{2};6\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $6\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Запишем концы отрезка со знаменателем 6: $\frac{9\pi }{2}=\frac{27\pi }{6}$, $6\pi =\frac{36\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка во II четверти. При $k=2$ получаем $\frac{29\pi }{6}$, и $\frac{27\pi }{6}⩽\frac{29\pi }{6}⩽\frac{36\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{17\pi }{6}<\frac{27\pi }{6}$ и $\frac{41\pi }{6}>\frac{36\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка в III четверти. При $k=3$ получаем $\frac{31\pi }{6}$, и $\frac{27\pi }{6}⩽\frac{31\pi }{6}⩽\frac{36\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{19\pi }{6}$ и $\frac{43\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ — нижняя точка. При $k=3$ получаем $\frac{11\pi }{2}=\frac{33\pi }{6}$, это число тоже лежит между $\frac{27\pi }{6}$ и $\frac{36\pi }{6}$. Соседние значения $\frac{7\pi }{2}<\frac{9\pi }{2}$ и $\frac{15\pi }{2}>6\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\frac{29\pi }{6}$, $\frac{31\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{2}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{29\pi }{6}$, $\frac{31\pi }{6}$, $\frac{11\pi }{2}$.