ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$2{\sin }^{3}x+\sqrt{2}\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+\sin x=\sqrt{2}\iff 2{\sin }^{3}x-2\sqrt{2}{\sin }^{2}x+\sin x=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(2{\sin }^{2}x-2\sqrt{2}\sin x+1\right)=0.$$

Выражение в скобках — полный квадрат: $2{\sin }^{2}x-2\sqrt{2}\sin x+1={\left(\sqrt{2}\sin x\right)}^2-2\cdot \sqrt{2}\sin x\cdot 1+1^2={\left(\sqrt{2}\sin x-1\right)}^2$. Получаем

$$\sin x{\left(\sqrt{2}\sin x-1\right)}^2=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Отсюда

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ двойным неравенством, разделив его на $\pi >0$.

Серия $x=\pi k$:

$$-\frac{7}{2}⩽k⩽-2.$$

Подходят $k=-3$ и $k=-2$, корни $-3\pi$ и $-2\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$:

$$-\frac{7}{2}⩽\frac{1}{4}+2k⩽-2\iff -\frac{15}{4}⩽2k⩽-\frac{9}{4}\iff -\frac{15}{8}⩽k⩽-\frac{9}{8}.$$

Между $-\frac{15}{8}$ и $-\frac{9}{8}$ целых чисел нет, корней из этой серии на отрезке нет.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$:

$$-\frac{7}{2}⩽\frac{3}{4}+2k⩽-2\iff -\frac{17}{4}⩽2k⩽-\frac{11}{4}\iff -\frac{17}{8}⩽k⩽-\frac{11}{8}.$$

Подходит только $k=-2$, корень $\frac{3\pi }{4}-4\pi =-\frac{13\pi }{4}$.

Тот же отбор на единичной окружности: начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая. Дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую ($-3\pi$) и нижнюю ($-\frac{5\pi }{2}$) точки до правой и покрывает II, III и IV четверти. На ней лежат левая и правая точки серии $x=\pi k$ и точка $\frac{3\pi }{4}$ из II четверти, а точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти — нет.

На отрезке лежат $-\frac{13\pi }{4}$, $-3\pi$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{4}$, $-3\pi$, $-2\pi$.